Математическое ожидание дискретной случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые давали бы в сжатой форме достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя собой некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины. Поэтому математическое ожидание иногда называют просто средним значением случайной величины.

Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения некоторых задач знание математического ожидания оказывается достаточным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. При этом должно удовлетворяться требование абсолютной сходимости ряда: .

Пусть случайная величина X может принимать только значения xl, х2,…, xn, вероятности которых соответственно равны pl, p2,…, рn. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством

М (X) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn. (4.1)

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Доказано, что средняя арифметическая наблюдаемых во время испытаний значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию при большом числе испытаний. При проведении серий испытаний средние арифметические наблюдаемых значений случайной величины, вычисленные для каждой серии, колеблются около математического ожидания этой случайной величины. При этом колебание становится меньше с увеличением числа испытаний в серии, и все вычисленные средние приближаются к постоянной величине − математическому ожиданию. Это свойство называется свойством устойчивости средних.