Статистическая проверка статистических гипотез

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Возможно, что расхождение случайно (незначимо) и объясняется либо малым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о распределении генеральной совокупности.

Критерий Пирсона отвечает на вопрос: случайно ли расхождение частот? Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

варианты х1 х2 х3… хi

эмпирические частоты n1 n2 n3… ni

Допустим, что в предположении распределения Пуассона генеральной совокупности вычислены теоретические частоты n¢i. При уровне значимости a требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

c2= (4.8)

Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее не известные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей. Делением на достигают уменьшения каждого из слагаемых; в противном случае сумма была бы настолько велика, что приводила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда, когда она справедлива. Разумеется, приведенные соображения не являются обоснованием выбранного критерия, а лишь пояснением.

Доказано, что при закон распределения случайной величины независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения c2 с k степенями свободы. Поэтому случайная величина обозначена через c2, а сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат».

Число степеней свободы находят по равенству k = s-1-r, где s - число групп (частичных интервалов) выборки; r - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр l, поэтому r =1 и k = s - 2.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через c2 набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы: для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0 (генеральная совокупность распределена по закону Пуассона), надо сначала вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение и по таблице критических точек распределения c2, по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k = s - 2 найти критическую точку c2кр (a; k).

Если c2 набл < c2кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.