Контур с положительной обратной связью

Диаграмма потоков и уровней для простейшего контура с положительной обратной связью приведена на рис. 7.7.

Поток с темпом RT втекает в резервуар с уровнем LEV. Темп потока прямо пропорционален уровню в резервуаре, C - коэффициент пропорциональности.

Уравнение уровня в соответствии с описанными выше обозначениями имеет вид

(3)

где LEV.K - уровень в резервуаре в момент времени K, LEV.J - уровень в момент времени J, RT.JK - темп потока, втекающего в резервуар в течение интервала времени DT от момента J до момента K. Цифра 1 означает, что это первое уравнение, а буква L означает, что это уравнение уровня.

Уравнение темпа имеет вид

. (4)

Цифра 2 означает, что это второе уравнение, а буква R означает, что это уравнение темпа.

Используя обозначения Li - уровень в i-й момент времени, Vi,i+1 - темп потока на интервале времени от момента i до момента i+1, уравнение уровня и уравнение темпа можно записать следующим образом:

, (5)

. (6)

Фактически уравнения (7.3) и (7.5) есть формулы интегрирования уравнения

(7)

методом Эйлера. Решение уравнения (7.7) при начальном условии имеет вид

.

Таким образом, в контуре с положительной обратной связью происходит экспоненциальное увеличение уровня. Поскольку темп пропорционален уровню, он тоже испытывает экспоненциальный рост. В реальных системах экспоненциальный рост продолжается до тех пор, пока не начнут сказываться факторы, ограничивающие его рост. Как правило, это связано с ограниченностью ресурсов, используемых системой.

Кривая экспоненциального роста характеризуется константой , которая называется постоянной времени. Постоянная времени численно равна времени, за которое происходит увеличение уровня в e раз.