Градиентные методы для решения систем линейных уравнений

На современном этапе научно-технического прогресса необыкновенно возрастает роль средств, позволяющих рационально использовать ресурсы, выделенные для решения народнохозяйственных задач. Кибернетика предлагает такие средства, как исследование операций, теория систем, математическое моделирование, теория эксперимента, вычислительная техника и др.

Часть этих методов предназначена для увеличения эффективности научного эксперимента на всех стадиях разработки, исследования, проектирования и эксплуатации производств. Единство теории и практики эксперимента совместно с вычислительной техникой образуют комплекс автоматизированного эксперимента, предназначенный для повышения производительности научного труда.

При выборе метода для решения уравнений математического описания обычно ставиться задача обеспечения максимального быстродействия при минимуме занимаемой программой памяти. Естественно, при этом должна обеспечиваться заданная точность решения. Прежде чем выбрать тот или иной численный метод, необходимо проанализировать ограничения, связанные с его использованием, например, подвергнуть функцию или систему уравнений аналитическому исследованию, в результате которого выявиться возможность использования данного метода. При этом весьма часто исходная функция или система уравнений должна быть соответствующим образом преобразована с тем, чтобы можно было эффективно применить численный метод. Преобразованием или введением новых функциональных зависимостей часто удается значительно упростить задачу.

К методам, имеющим высокую скорость работы и низкое потребление памяти и относятся градиентные методы. В настоящей работе будет рассмотрено две модификации градиентного спуска: метод сопряженных градиентов и метод покоординатного спуска.

К решению систем линейных уравнений сводятся многие химические задачи. В частности, когда рассматриваются свойства смесей компонентов, имеющие аддитивный характер. Вот несколько примеров. Известно, что светопоглощение вещества в растворе описывается законом Бугера-Ламберта-Бера:

где Dλ - это оптическая плотность раствора при длине волны света λ, с

- молярная концентрация вещества в растворе, l

- толщина слоя раствора, через который проходит свет, ε - молярный коэффициент светопоглощения (молярный коэффициент экстинкции), зависящий от длины волны падающего света.

Если в растворе поглощает несколько веществ, то оптические плотности веществ складываются (оптическая плотность - аддитивное свойство). Обозначим через Dij оптическую плотность, которую имеет j-й компонент раствора при длине световой волны λi (εij - молярный коэффициент светопоглощения j-го компонента раствора при длине световой волны λi)

Тогда общая оптическая плотность раствора при длине световой волны λi (Di) будет равна сумме по всем M компонентам:

Если измерить оптическую плотность раствора на M различных длинах волн, то можно получить систему из M линейных уравнений с M неизвестными концентрациями и использовать ее для их расчета.

Матрицу коэффициентов образуют значения молярной экстинкции каждого из компонента на всех длинах волн, а вектор-столбец свободных членов - отношения общего светопоглощения растворов при различных длинах волн к длине кюветы:

Другой пример - масс-спектрометрическое определение состава смеси газов по интенсивности пиков Метод масс-спектроскопии основан на ударной ионизации молекул вещества и наблюдению за отклонением потока ионизированных частиц в электрическом поле. Ионизированные частицы отклоняются в соответствии с величиной где m

- масса иона, e

- его заряд. Для каждого вещества состав и соотношение продуктов ионизации индивидуален (так же как и оптический спектр вещества). Абсолютная высота i-го пика с определенным соотношением (интенсивность) определяется парциальным давлением газа в смеси.

i - есть интенсивность i-го пика в масс-спектре вещества с парциальным давлением, равным единице, этот параметр называют коэффициентом чувствительности. Для различных веществ набор пиков масс-спектра и их интенсивность являются индивидуальными.

В результате экспериментов получены следующие данные:

Нам необходимо найти молярную концентрацию каждого из веществ в заданном растворе. Для этого нам необходимо решить систему линейных уравнений. Для решения системы уравнений будем использовать метод сопряженных градиентов. Рассмотрим основные разновидности градиентных методов, которые применимы к разрешению данной задачи.

• Метод покоординатного спуска
• Критерий останова
• Реализация
• Пакетная реализация
• Метод сопряженных градиентов
• Алгоритм
• Сравнение методов
• Метод сопряженных градиентов