Стандартная и рациональная схемы статистического моделирования

Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени Т. Модель звена:

где g = G( t ), X(0) = A.

Данная модель звена содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.

Допустимая абсолютная погрешность результата: εдоп. = 0,01.

Задачу решить тремя способами:

· Используя стандартную схему статического моделирования;

· Используя рациональную схему статистического моделирования с применением метода расслоенной выборки;

· Аналитически.

Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.

При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.

Исходные данные (вариант 2-2):

G = 1 ÷ 1.4,

a = 0.6 ÷ 0.8,

T = 1.3,

A = 1,

k = 1.2.

Аналитическое решение

статистический моделирование математический апериодический

Решим дифференциальное уравнение вида[1]:

(1)

где g = G(t),

X(0) = A.

Сначала найдем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Подставим полученное решение однородного дифференциального уравнения в (1):

Найдем С1 из условия X(0) = A:

В результате имеем:

Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

(2)

где g - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [1;1.4],

a - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.6;0.8],

Для Т=1.3 с учетом статистической независимости k и g определим искомую характеристику:

где - искомое математическое ожидание.

С учетом (1) находим :

Таким образом,

Определим дисперсию :

, (3)

где - дисперсия выходного сигнала.

Введем обозначение: и найдем :

(4)

Рассчитаем слагаемые, входящие в (4):

;

Таким образом, 21.77.

Подставив полученные значения в (3), определим дисперсию выходного сигнала:

С учетом известной дисперсии оценим необходимое количество опытов с погрешностью :

,

где - необходимое количество опытов.

Значение параметра зависит от доверительной вероятности . Примем Pд=0,997 и aд=3. Подставив значения параметров в (5), получим:

опытов.

Все перечисленные расчеты производились в математическом пакете MathCAD [2], приводятся в Приложении А.

• Стандартная схема статистического моделирования
• Рациональная схема статистического моделирования
• Блок-схема итерационного алгоритма метода расслоенной выборки.