Дисперсия дискретной случайной величины

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению дисперсии, введём понятие отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть X - случайная величина и М (X) - её математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X−М(Х).

Отклонением, называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения X известен:

X x1 x2… хn

p p1 p2… pn

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х1−М(Х), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x1. Вероятность же этого события равна р1; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х1−М (X), также равна р1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

X − М(Х) x1 −M(X) х2 −М(Х)… хn−М(Х)

P p1 p2… pn

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. М [X - М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M [X−М(Х)]2 (4.2)

Пусть случайная величина задана законом распределения

X x1 x2… хn

p p1 p2… pn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[X−М (Х)]2 [х1−М (Х)]2 [х2−М (Х)]2… [хn−М (Х)]2

p p1 p2… pn