Условия трансверсальности

В практике встречаются задачи определения экстремума функционалов, когда концы варьируемых кривых фиксированы, свободны, либо принадлежат некоторому многообразию . В этих граничных точках должны выполняться так называемые условия трансверсальности.

Условия трансверсальности для фиксированного интервала T:

необходимо исследовать совместно с граничными значениями для x(t), которые могут быть фиксированными или свободными (рис. 1).

Рис. 1.2.1 Допустимые функции x(t) в зависимости от граничных условий

Если граничное значение х(tгр) задано (где tгр =0 или T), то вариация должна быть равна нулю и на значение производной никаких ограничений не накладывается.

Если граничное значение х(tгр) свободно, то вариация может быть произвольной, следовательно, должна быть равна нулю [2].

Рассмотрим различные задачи для фиксированного интервала оптимизации Т.

1. Начальное х(0) и конечное х(Т) значения выходной величины заданы (задача с закрепленными граничными точками, рис. 1.2.1, а).

В этой задаче все возможные кривые x(t), среди которых ищется экстремаль x*(t), должны начинаться и заканчиваться в заданных точках. Вариации (0) и (Т) равны нулю и на значения производной меры ошибки на границах интервала никаких ограничений не накладывается. Постоянные интегрирования C1, С2 находятся из граничных условий для х(0), х(Т) и условия трансверсальности не используются.

2. Начальное х(0) значение выходной величины фиксировано, а конечное х(Т) - свободно (задача с подвижной правой границей, рис .12.1, б).

Так как х(Т) может принимать произвольные значения, то вариация (Т) также может быть любой, следовательно, условие трансверсальности будет выполнено только при равенстве нулю производной

Таким образом, два граничных условия х(0) и позволяют найти значения постоянных интегрирования C1, С2 .

. Аналогично определяются граничные условия в задаче с незакрепленной начальной точкой х(0) и фиксированной конечной х(Т) (задача с подвижной левой границей, рис. 1.2.1, в).

На левой границе вариация (0) может быть любой, тогда. Из этого условия и граничного значения х(Т) находятся постоянные интегрирования.

4. Начальное x(0) и конечное х(Т) значения выходной величины свободны (задача с незакрепленными граничными точками, рис. 12.1, г).

Так как вариации (0) и (Т) могут быть любыми, то из условий трансверсальности следует, что на границах должна обращаться в нуль производная меры ошибки

Отсюда определяются постоянные интегрирования С1 и С2 .

1.3 Типы задач

Пусть дан следующий функционал

(1.3.1)

где: функция характеризует состояние системы в момент t=T.