Условия трансверсальности

При имеет задачу Больца,

задачу Майера,

- задачу Лагранжа.

Задачи Больца относится к задачам на условный экстремум. Эта задача является одной из наиболее общих задач на условный экстремум

Дадим формулировку задачи Больца: среди кусочно-гладких функций, удовлетворяющих уравнениям связей (1.3.1), т. е.

(j=1, 2 .k), (1.3.1)

и граничным условиям

, (1.3.2)

определить функцию, доставляющую экстремум функционалу

(1.3.3)

При этом полагается, что матрица имеет ранг k в некоторой области (2n+1)-мерного пространства , функции

и

обладают непрерывными частными производными, а матрица имеет ранг р во всех точках многообразия , определяемого уравнениями (1.3.2).

Далее задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа сводится к задаче Лагранжа, в которой необходимо определить кусочно-гладкую функцию, удовлетворяющую уравнениям связей и граничным условиям.

Задача Лагранжа

Введем в рассмотрение новый функционал.

(1.3.4)

причем

(1.3.5)

где: - неопределенные множители Лагранжа.

- левые части уравнений связи с нулевыми правами частями.

В формуле (1.3.5) неизвестными являются и т.е. всего переменных. Найдем безусловный этого функционала по всем переменным.

Для этого составим уравнения Эйлера-Лагранжа:

(1.3.6)

(1.3.7)

Эта система уравнений позволяет найти неизвестные множители Лагранжа. и , доставляющий безусловный функционала (2) и одновременно условный функционала при наличии уравнений связи .

Задача Майера.

Приведем формулировку задачи Майера, которая входит в класс задач на условный экстремум: среди всех кусочно-гладких векторных функций , удовлетворяющих уравнениям связи

(1.3.8)

и граничным условиям

(1.3.9)