Оценка риска на основе динамических моделей устойчивости

Альтернативой теории ожидаемой полезности принято считать теорию проспектов (или перспектив), в которой сделана попытка авторами теории - Д.Канеманом и А.Тверски - учесть реальное поведение людей при выборе и приблизить теорию к жизни. В теории проспектов выбор решения производится на основе функции ценности, имеющей асимметричный характер. Функция ценности для потерь отличается от функции ценности для приобретений. Потери кажутся субъекту большими, чем приобретения. Поэтому предпочтения субъекта зависят от способа формулировки задачи выбора. Если варианты ситуации выбора сформулированы как приобретение, тогда субъект предпочитает не рисковать, а выбирать детерминированную альтернативу. Если предпочтительный вариант сформулирован как потеря, люди гораздо охотнее идут на риск. Теория проспектов объясняет стремление человека завышать небольшие значения вероятностей случайных событий (т.е. редких событий), что учитывается, например, в страховой индустрии и соответственно занижать значения вероятностей событий, имеющих высокие значения вероятностей исходов.

Основным понятием этой темы является Критерий Байеса.

Критерий Байеса - в теории решений критерий принятия решений в условиях отсутствия какой-либо информации об относительных вероятностях стратегий «природы». По Байесу предлагается придать равные вероятности всем рассматриваемым стратегиям, после чего принять ту из них, при которой ожидаемый выигрыш окажется наибольшим. Имеет тот недостаток, что круг оцениваемых альтернатив в одной и той же задаче может быть различным и соответственно различной может быть также относительная вероятность каждой из них.

Критерий Байеса отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

ZBL=.

) Пусть А является матрицей выигрышей игрока А.

) Известны вероятности qj=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1). Следовательно, речь идет о принятии решения в условиях риска.

) Полагаем l=n и матрицу В выбираем равной матрице А, т.е.=aij для всех i=1,…,m и j=1,…,n.

) Коэффициенты l1,…,ln, выбираем равными соответствующим вероятностям q1,…,qn, т.е. ll=qi, i=1,…,n. Этим самым игрок А выражает полное доверие к истинности распределения вероятностей q1,…,qn, состояний природы.

Из (1) следует, что коэффициенты lj, j=1,…,n удовлетворяют условию (3).

) Показатель эффективности стратегии Аi по критерию Байеса обозначим через Вi и находим его по формуле (3):

Очевидно, что Вi - средневзвешенный выигрыш при стратегии Аi с весами q1,…,qn.

Если стратегию Аi трактовать как дискретную случайную величину, принимающую значения выигрышей при каждом состоянии природы, то вероятности этих выигрышей будут равны вероятностям состояний природы и тогда Вi есть математическое ожидание этой случайной величины (см. (6)).

) Цена игры по критерию Байеса, обозначаемая нами через В, определяется по формуле (4):

7) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса является стратегия Аk, для которой показатель эффективности максимален:

Вk=В.

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).