Методы решения задач синтеза оптимальных систем

Вариационное исчисление

Метод классического вариационного исчисления целесообразно применять при решении задач синтеза оптимальных систем, когда области отклонений координат объекта и управления открыты, т. е. не имеется ограничений. Это бывает в тех случаях, когда рассматриваются малые отклонения координат объекта и управления от их установившихся значений. Методы решения вариационных задач подобны методам исследования функций на максимум и минимум. Существенным отличием при этом является то, что в вариационных задачах рассматривается не функция x(t), а функционал. Постановка задачи в вариационном исчислении: пусть имеется некоторый функционал I зависящий от функции Y(X)

(1.4.1.1)

а функция F однозначна и непрерывна.

Пусть функция Y=f(X) также однозначна и непрерывна в пределах [xо, x1] и имеет непрерывную производную в этом промежутке, то есть принадлежит к классу C(1).

Кривая f(X) - допустимая, если она принадлежит к классу C(1) лежит в области R и проходит через точки (x0 y0) и (x1, y1,), где y0,= f(x), а y1= f(x1). Требуется найти среди допустимых кривых f(x) экстремаль, то есть такую функцию, при которой интеграл (1. 4.1.1) минимизируется.

Найдем условие, которому должна удовлетворять экстремаль. Пусть f(X)-искомая функция. Рассмотрим другую, близкую к f(X), функцию

, (1. 4.1.2)

где (X) - произвольная функция класса С(1), обращающаяся в нуль в точках Х0 и Х1 а а- некоторое малое число.

Подставив (1. 4.1.1) в (1.4.1.2), получим

(1. 4.1.3)

Разложим I(a) в ряд по степеням а

(1.4.1.4)

Выражения и называются первой и второй вариациями интеграла I соответственно. Если f (X) минимизирует I, то

= 0. (1.4.1.5)

Дифференцируя (1.4.1.4) по а и произведя ряд преобразований, получим уравнение

(1.4.1.6)

Для выполнения условий (1.4.1.5) при всех допустимых функциях необходимо, чтобы квадратная скобка в выражении (1.4.1.6) равнялась нулю.

=0 (1.4.1.7)

Дифференциальное уравнение (1.4.1.7) называется уравнением Эйлера. Решая его, можно найти экстремали, среди которых и следует искать решение задачи.

Рассмотрим пример: найти кривую y=f(x) класса C(1) которая проходит через точки М0 и M1 в плоскости (x, y) с координатами

x0= 0, y0>0

x1>0, y1 = 0

и минимизирует интеграл

Здесь

;

Тогда уравнение Эйлера запишется так

или

Решение данного уравнения имеет вид

Значения С1 и С2 будут равны:

,

Уравнение Эйлера примет вид:

Следует заметить, что решения уравнения Эйлера не обязательно обеспечивают минимум интеграла I. Интеграл может принимать при этом максимальное значение или же зависимость I(a) имеет при а=0 точку перегиба. И как в математическом анализе необходимы дополнительные рассуждения, которые позволяют установить, что (1.4.1.7) дает действительно минимум [2].

Большой класс вариационных задач содержит дополнительные условия, накладываемые на решения. Эти дополнительные условия даются в виде равенств. В этих случаях решение получаем в виде условного экстремума.

В последнее время находят применение при решении технических задач так называемые прямые методы решения вариационных задач. Рассмотрим кратко один из простейших вариантов - «метод Ритца».

Пусть требуется найти кривые Y1(Х),…,Yn(X), минимизирующие интеграл