Представление объектов в пространстве состояний

В теории оптимального управления принято представлять динамику объектов исследования в виде системы из п дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных относительно так называемых переменных состояния, а само описание получило название описания в пространстве состояний. Вместо выходной величины у и ее производных y’,…y(n+1) вводятся п новых переменных х1, х2, …, хп - переменных состояния.

Пространством состояний называется метрическое пространство, каждый элемент которого полностью определяет состояние рассматриваемой системы (процесса).

Здесь под состоянием понимается мгновенное состояние, состояние в текущий или заданный момент времени. Процесс протекающий во времени отображается как движение элемента (вектора) в пространстве состояний. Конец вектора называется изображающей точкой, а траектория движения изображающей точки в пространстве состояний называется фазовой траекторией.

Каждому состоянию системы теперь можно поставить в соответствие точку в n-мерном евклидовом пространстве, а движение динамической системы во времени отобразить некоторой траекторией в этом пространстве.

Вектор X часто называют фазовой точкой или точкой Фазового пространства, его составляющие xl, x2, …, xn - фазовыми координатами, а процессы xl(t), x2(t), ., xn(t) - фазовыми траекториями [2].

Исследование системы управления с помощью переменных состояния предпочтительнее благодаря удобству и простоте проведения моделирования и анализа, возможностью использования стандартных программ при расчетах на ЭВМ, а также методологическими преимуществами.

Описание в пространстве состояний оказывается особенно удобным, если система не стационарна (коэффициенты уравнений зависят от времени) или не линейна. Возможности частотных методов в этом случае весьма ограничены, а во временной области такие системы могут быть исследованы хотя бы численным методом.

В общем случае нелинейная нестационарная система с r входными (управляющими) воздействиями

и т выходными величинами

может быть представлена n переменными состояния

и уравнением в векторной форме

dX/df=F(X, U, f), Y=G(X, U, t), (2.1.1 )

где: FT = и GT= - нелинейные вектор-функции, а т - символ транспонирования.

Время t введено для отображения зависимости коэффициентов функций fi и gj от времени в случае нестационарных систем.

Для одномерной системы уравнения (2.1.1) примут вид

, (2.1.2)

а для стационарной системы -

,

В случае линейной многомерной системы каждая из функций и является линейной комбинацией переменных состояния хj и управлений иk:

,