Представление объектов в пространстве состояний

(2.2.4)

Линия представляет собой линию переключения.

Введем функцию , характеризующую расстояние от текущего положения фазовой точки (x1,x2) до линии переключения:

(2.2.5)

Когда фазовая точка окажется на линии переключения, то правая часть уравнения (2.2.5) будет равна нулю ( = 0) и управляющее устройство должно произвести переключение знака управления на противоположный.

Пока фазовая точка находится над линией переключения, > 0 и управление должно быть отрицательным и (t) = -U .

Когда фазовая точка находится под линией переключения, < 0 и управление должно быть положительным и (t) = +U .

Таким образом, в зависимости от знака должен выбираться и знак управления:

Все изложенное позволяет записать алгоритм оптимального по быстродействию регулятора для объекта (2.21):

=0, если , х2 (2.2.4)

Структурная схема системы, реализующей закон управления (2.2.4), приведена на рис. 2.2.3, где обозначено

.

Рис. 2.2.3 Структурная схема системы

.3 Синтез системы объекта с

Рассмотрим этим же методом (принцип максимума Понтрягина) систему, когда, объект регулирования представляет собой последовательное соединение интегрирующего и апериодического звеньев.

Уравнение движения объекта будет иметь вид:

(2.3.1)

Будем искать оптимальное управление , которое произвольное начальное состояние (х10, x20) переводит в начало координат за минимальное время Т.

Система (2.3.1)будет нормальной. Для нее матрица , вектор и матрицаG - невырожденная, поэтому система (2.2.1) будет нормальной. Характеристические числа матрицы A = 0, =-1 поэтому система удовлетворяет условиям теоремы об n-интервалах. Оптимальное управление u*(t) является кусочно-постоянным и имеет не более двух интервалов постоянства.

Определим линию переключения. Для этого полагаем u* = ∆=±1. Тогда уравнение фазовых траекторий будет