Представление объектов в пространстве состояний

Отсюда

(2.2.2)

Таким образом, стратегия управления и характер u*(t) определены: оптимальное управление - это релейное управление, максимальное по величине, причем переключение управления производится тогда, когда функция ТВ пересекает ось времени t [2].

По изложенной методике определим оптимальное управление , которое произвольное начальное состояние (х10, x20) переводит в начало координат за минимальное время Т.

Представим объект (2.2.1) в виде уравнения состояния (нормальная форма)

(2.2.3)

В рассматриваемом примере матрица , вектор. Образуем матрицу.

Матрица G - невырожденная, поэтому система (2.2.3) будет нормальной. Характеристические числа матрицы A = 0, поэтому система (2.2.3) удовлетворяет условиям теоремы об n-интервалах. Оптимальное управление u*(t) является кусочно-постоянным и имеет не более двух интервалов постоянства.

Таким образом, управляющие последовательности в зависимости от начального состояния будут: {+ 1}, {-1},{+1,-1}, {-1, + 1}.

Обозначим u* = ∆=±1 и найдем общее решение системы при и* = ∆. Имеем

Пусть при t = 0, х1 = х10, х2= х20. Тогда, исключив время t из полученных выше равенств, найдем уравнение фазовых траекторий системы:

.

Фазовые траектории при ∆ = + 1 и при ∆ = - 1 изображены на рис.2.2.1.

Рис. 2.1.1 Фазовые траектории при ∆ = + 1 и при ∆ = - 1

Обозначим - множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью и*={+1}, - множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью и*={-1}. Эти множества описываются уравнениями

Если принять то множество запишется в виде

Рис. 2.2.2 Фазовые траектории оптимальной системы.

Обозначим R+ - область, расположенную слева от кривой (рис. 2.2.2), и через R- - область, расположенную справа от . Если начальное состояние (х10, х20) R+, то оптимальное управление u* = {+ 1, - 1}, причем переключение производится по линии , если (х10, х20) R-, то оптимальное управление и* = {- 1, +1}, причем переключение управления производится на линии +. Закон управления