Представление объектов в пространстве состояний

или в векторно-матричном виде:

,

Здесь - матрицы с коэффициентами, зависящими от времени.

Для стационарных систем коэффициенты матриц А, В, С и D постоянны:

(2.1.3)

Для одномерной системы с одним входом и и одним выходом у:

(2.1.4)

Здесь В и С - векторы, а d - скалярная величина.

Выбор переменных состояний не единственен. При одном выборе они могут представлять собой выходную величину системы и (n-1) ее производных. При другом выборе переменные состояния могут быть внутренними физическими величинами объекта, как это получается при построении аналитических моделей точечного приближения для процессов в теплообменниках. Наконец, в ряде случаев выбранные переменные состояния могут не иметь никакого физического смысла и оказываются связанными с выходной величиной и ее производными довольно сложными математическими соотношениями. Другими словами, существует не одна группа переменных состояния, с помощью которых поведение системы может быть описано полностью. Однако любые группы переменных состояния линейных систем однозначно связаны между собой преобразованием подобия.

Выбор той или иной группы определяется вытекающей из него простотой решения задачи, удобством моделирования, физичностью и т.д. и оставляется на усмотрение разработчика [15].

2.2 Синтез системы объекта с

Выполним синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина, объект которой представляет собой два последовательно соединенных интегрирующих звена.

(2.2.1)

Целью рассматриваемой системы управления является перемещение линейного объекта из заданной начальной точки Х(0) = Х0 в пространстве состояний в заданную конечную точку Х(Т) = ХТ за минимальное время при наличии ограничения на амплитуду управления

Критерий управления, как отмечалось ранее, в этом случае

Мера ошибки в критерии H =1, а верхний предел T не известен. Начальная Х(0) = Х0 и конечная Х(T) = ХT точки закреплены.

Запишем функцию Гамильтона и условия трансверсальности:

(T) и (0)-произвольны.

Согласно принципу максимума Понтрягина, стратегия управления состоит в минимизации функции Гамильтона относительно u. Минимум Г будет тогда, когда

min по и

или

min по и